Algebra

E’ il ramo della matematica che ha come oggetto la teoria delle equazioni e, più recentemente,
lo studio di strutture matematiche astratte. Nell'algebra, le relazioni fondamentali
dell'aritmetica, quali addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed
estrazione di radice, vengono trattate mediante rappresentazioni letterali,
e questo rende possibile lo studio di casi più generali.

Nell'algebra classica, costituita sostanzialmente dalle teorie di risoluzione delle equazioni, i simboli letterali che sostituiscono i numeri vengono trattati mediante le comuni operazioni aritmetiche.
L'algebra moderna invece si è evoluta rispetto a quella classica con una maggiore attenzione alle strutture della matematica.

La storia dell'algebra ha inizio nel periodo delle civiltà dell'Antico Egitto e di Babilonia, dove già erano note le soluzioni di equazioni lineari e quadratiche, e di equazioni indeterminate a più incognite.
Le equazioni di secondo grado venivano risolte dai babilonesi con un procedimento ancora in uso ai giorni nostri.

I notevoli progressi compiuti dai matematici alessandrini, come Erone di Alessandria e Diofanto, sono testimoniati dall'opera di Diofanto Aritmetica. Anche nel mondo islamico i matematici proseguirono lo studio della risoluzione delle equazioni; nel IX secolo il matematico arabo Al-Khuwarizmi, che per primo introdusse il termine alàgabr, da cui derivò algebra, scrisse uno dei primi libri di algebra araba, che conteneva un'esposizione sistematica della teoria fondamentale delle equazioni.

In epoca medievale i matematici islamici definirono le potenze dell'incognita x, e ricavarono l'algebra fondamentale dei polinomi senza l'aiuto del simbolismo moderno.
Il matematico, astronomo e poeta persiano Omar Khayyam mostrò come esprimere le radici delle equazioni di terzo grado per mezzo di segmenti di retta ottenuti dall'intersezione di coniche, ma non fu in grado di trovare una formula algebrica per la determinazione di queste radici.

All'inizio del XIII secolo, il matematico italiano Leonardo Fibonacci ottenne una soluzione approssimata dell'equazione cubica

x3 + 2x2 + cx = d

probabilmente sfruttando un metodo di approssimazioni successive di origini islamiche.

All'inizio del XVI secolo, i matematici italiani Scipione del Ferro, Niccolò Fontana, detto Tartaglia, e Gerolamo Cardano risolsero la generica equazione di terzo grado in funzione delle costanti dell'equazione stessa. Spettò poi all'allievo di Cardano, Ludovico Ferrari, il merito di aver determinato una soluzione esatta valida per le equazioni di quarto grado e, nei secoli che seguirono, l'obiettivo dei più grandi matematici fu rivolto alla ricerca di una formula generale che fornisse le radici delle equazioni di grado superiore o uguale al quinto.
All'inizio del XIX secolo, Paolo Ruffini, Niels Abel e Evariste Galois dimostrarono, a livello teorico, l'inesistenza di tale formula.

Un importante sviluppo dell'algebra del XVI secolo fu l'introduzione dei simboli per indicare le incognite, le potenze algebriche e le operazioni; infatti il Libro III della Géometrie (1637), di René Descartes (= Cartesio), assomiglia a un moderno testo di algebra molto più delle opere precedenti.

Il contributo più significativo che vi è riportato è l'introduzione della geometria analitica, per mezzo della quale è possibile la risoluzione di problemi geometrici in termini algebrici e, contemporaneamente, la rappresentazione geometrica di problemi di carattere algebrico.

Lo studio della teoria delle equazioni progredì nel corso del XVIII secolo, e nel 1799 il matematico tedesco Carl Friedrich Gauss pubblicò la dimostrazione del fatto che ogni equazione polinomiale ammette almeno una soluzione nel piano complesso, un risultato estremamente importante oggi noto come teorema fondamentale dell'algebra.

Al tempo di Gauss, l'algebra era ormai entrata nella sua fase moderna; l'attenzione degli studiosi si era infatti spostata dal problema della risoluzione delle equazioni polinomiali allo studio della struttura di sistemi matematici astratti i cui assiomi stabilivano il comportamento di oggetti matematici, quali ad esempio i numeri complessi. Due esempi di simili sistemi sono i gruppi, che divennero uno dei più importanti concetti di unificazione della matematica del XIX secolo.
Importanti contributi al loro studio vennero dati dai francesi Galois e Augustin-Louis Cauchy, dal britannico Arthur Cayley e dai norvegesi Niels Henrik Abel e Sophus Lie.
I quaternioni, scoperti da William Rowan Hamilton, possono essere considerati l'estensione dell'aritmetica dei numeri complessi. Immediatamente dopo la scoperta di Hamilton, Hermann Grassmann intraprese lo studio dei vettori, che J.W. Gibbs riconobbe di grande utilità nella teorizzazione fisica.

L'approccio astratto alla matematica fu sviluppato da George Boole nelle Leggi del pensiero (1854), un trattato di algebra sulla logica fondamentale. A partire da allora, l'algebra moderna, detta anche algebra astratta, ha continuato a svilupparsi ed è stata applicata a tutti i rami della matematica e a molte altre scienze.

Simboli e termini particolari
I simboli dell'algebra comprendono i numeri, le lettere e i segni delle operazioni.
I numeri sono naturalmente costanti, mentre le lettere possono rappresentare sia quantità costanti, sia quantità variabili.
Le lettere usate per la rappresentazione delle costanti sono generalmente quelle iniziali dell'alfabeto; per le variabili invece si adottano di solito alcune delle ultime lettere dell'alfabeto.

Il raggruppamento dei simboli algebrici e la sequenza delle operazioni vengono stabiliti grazie a una categoria di simboli appositi che comprendono le parentesi tonde ( ), le parentesi quadre [ ], le parentesi graffe { } e le barre orizzontali, usate principalmente nelle divisioni e nell'estrazione di radice.
I segni delle operazioni algebriche sono gli stessi delle corrispondenti operazioni aritmetiche: quello di addizione (+), di sottrazione (-), moltiplicazione (×) e divisione (÷).
Nel caso della moltiplicazione, il simbolo "×" spesso si omette o si sostituisce con un punto, come nell'espressione a · b. Un gruppo di simboli consecutivi, come abc, indica il prodotto di a, b e c. La divisione si indica generalmente per mezzo di barre; per separare il numeratore dal denominatore di una frazione si può usare in alternativa anche la barra (/); ad esempio, con la scrittura ax + b/c - dy si intende che ax e dy sono termini distinti, come pure b/c, mentre la scrittura (ax + b)/(c - dy) rappresenta correttamente la frazione ax + b c - dy.

Qualunque affermazione che contenga la relazione di uguaglianza (=) si dice equazione. Un'equazione si dice identità o equazione condizionale, a seconda che l'uguaglianza sia vera per tutti i valori delle variabili in essa contenute, o solo per alcuni.

Un'espressione algebrica costituita da un solo termine si dice monomio; due termini costituiscono un binomio; tre termini un trinomio. Un polinomio è una qualunque somma (o differenza) finita di termini.

Ad esempio, un generico polinomio di grado n può essere scritto come a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. In questo contesto, la parola grado si riferisce all'esponente più alto a cui compaiono elevate le variabili del polinomio.
Ad esempio, se l'esponente più elevato di una variabile è 3, come in ax3 + bx2 + cx, si dice che il polinomio è di grado 3.
Analogamente, l'espressione xn + xn-1 + xn-2 è di grado n. Un'equazione lineare in una variabile è un'equazione polinomiale di grado 1, cioè della forma ax + b = 0.

La denominazione di equazione lineare consegue dal fatto che la rappresentazione grafica di questa categoria di equazioni in geometria analitica è la retta.

Un'equazione quadratica in una variabile è un'equazione polinomiale di grado 2, cioè della forma ax2 + bx + c = 0.

Nelle operazioni tra polinomi valgono le comuni leggi dell'aritmetica. Mentre l'ambiente di lavoro dell'aritmetica è l'insieme dei numeri razionali, l'algebra e la geometria si applicano ai numeri reali, cioè all'insieme dei numeri razionali e di quelli irrazionali, come ad esempio la radice quadrata di 2, e ai numeri complessi.

Teoria delle equazioni
E' il ramo della matematica, con applicazioni in qualsiasi settore scientifico, che ha per oggetto lo studio delle soluzioni di un'equazione polinomiale e i metodi per determinarle. Si dice equazione polinomiale di grado n un'identità del tipo

a0 + a1x1 + a2x2 + … anxn = 0

in cui i coefficienti a0, a1, …, an sono numeri reali, an deve essere ¹ 0, e n è un numero intero positivo che determina il grado dell'equazione.

Si definisce soluzione, o radice dell'equazione, un valore della variabile x che, sostituito nell'espressione polinomiale, fornisce l'identità 0 = 0. Risolvere un'equazione polinomiale significa determinarne tutte le possibili radici.

Aritmetica
Termine che letteralmente significa "arte del contare" e deriva dal greco arithmetike, che fonde i due concetti di árithmos, "numero", e techne, "arte" o "abilità".

I numeri usati per contare sono gli interi positivi, che si ottengono partendo dal numero uno e aggiungendo, a ciascun passo dell'operazione, un'unità al numero precedente, ottenendo una serie infinita.

Le civiltà fiorite nel corso della storia hanno sviluppato diversi sistemi di numerazione, cioè diversi metodi per esprimere i numeri mediante simboli, tra i quali il più comune è il sistema in base 10, o decimale, adottato da tutte le culture moderne.

L'aritmetica si occupa dei procedimenti necessari per eseguire le operazioni proprie dell'algebra, quali addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione, nell'insieme dei numeri reali che comprende gli interi positivi e negativi, i numeri frazionari e infine i numeri irrazionali.

Numero
Parola o simbolo usato per designare le quantità. Si distinguono i numeri reali (suddivisi in razionali e irrazionali), i numeri immaginari e i numeri complessi. L'insieme dei numeri naturali è formato dai numeri interi, positivi e negativi, dalle frazioni anch'esse positive e negative, e dal numero zero.

Le operazioni di somma, differenza, prodotto e quoziente di numeri razionali forniscono sempre come risultato un numero razionale, cosicché l'insieme dei numeri razionali è chiuso rispetto a tali operazioni; costituisce un'eccezione la divisione di un numero per zero, che dà un risultato indeterminato e quindi non è permessa.
Ogni numero razionale può essere rappresentato come un numero decimale periodico, cioè un numero decimale in cui un gruppo di cifre decimali si ripete all'infinito.

I numeri irrazionali sono invece rappresentati da un'espansione decimale infinita e non periodica. I numeri immaginari sono multipli dell'unità immaginaria ·, che ha simbolo i; qualunque numero immaginario può essere rappresentato dall'espressione ia, dove a è un numero reale. L'insieme dei numeri complessi comprende tutti i tipi di numeri, sia reali, sia immaginari.

Si dice numero primo qualunque intero che ammetta come unici divisori il numero 1 e se stesso; così, 2, 3, 5, 7, 11 e 13 sono tutti numeri primi. Le potenze di un numero si ottengono moltiplicando più volte il numero per se stesso. Il termine a elevato alla terza potenza, ad esempio, si scrive a·a·a o a3.

Un numero si dice scomposto in fattori primi se scritto come prodotto di fattori che siano potenze di numeri primi. Ad esempio, i fattori primi di 15 sono 3 e 5. Analogamente, poiché 60 = 2² × 3 × 5, i fattori primi di 60 sono 2, 3 e 5.

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